Выбрано 2 задачи 
Версия для печати
Убрать все задачи
В треугольнике $ABC$ через центр $I$ вписанной окружности $w$ провели прямую, параллельную стороне $BC$, до пересечения с вписанной окружностью в точках $A_B$ и $A_C$ ($A_B$ находится в той же полуплоскости относительно прямой $AI$, что и точка $B$). После этого нашли точку пересечения прямых $BA_B$ и $CA_C$ и обозначили её через $A_1$. Аналогично построили точки $B_1$ и $C_1$. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в одной точке.
Решение
Решение
Убрать все задачи
В треугольнике $ABC$ через центр $I$ вписанной окружности $w$ провели прямую, параллельную стороне $BC$, до пересечения с вписанной окружностью в точках $A_B$ и $A_C$ ($A_B$ находится в той же полуплоскости относительно прямой $AI$, что и точка $B$). После этого нашли точку пересечения прямых $BA_B$ и $CA_C$ и обозначили её через $A_1$. Аналогично построили точки $B_1$ и $C_1$. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в одной точке.
РешениеВ каждой клетке доски размером 5×5 стоит крестик или нолик, причём никакие три крестика не стоят подряд ни по горизонтали, ни по вертикали, ни по диагонали. Какое наибольшее количество крестиков может быть на доске?
Решение
Задача 115962
|
|
 |
Условие
Найдите x 3 + y3, если известно, что x + y = 5 и x + y + x2y + xy2 = 24.Решение
Так как x + y + x 2 y + xy 2 = x + y + xy (x + y) = (x + y)(xy + 1) = 24,
то используя условие x + y = 5, получим, что xy = 3,8.
Далее можно действовать по разному:
Первый способ. x3 + y3(x + y)3 – 3xy(x + y) = 125 – 3×3,8×5 = 68.
Второй способ. x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = (x + y)((x + y)2 – 3xy) = 5(25 – 3×3,8) = 68.
