Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано 25 чисел. Какие бы три из них мы ни выбрали, среди оставшихся найдётся такое четвёртое, что сумма этих четырёх чисел будет положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

   Решение

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Правильный тетраэдр ] [ Подобие ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

На ребре единичного правильного тетраэдра взята точка, которая делит это ребро в отношении 1:2. Через эту точку провежены две плоскости, параллельные двум граням тетраэдра. Эти плоскости отсекают от тетраэдра две треугольные пирамиды. Найдите объём оставшейся части тетраэдра.

Решение

Высота правильного тетраэдра со стороной 1 равна , площадь основания равна . Следовательно, если V – объём такого тетраэдра, то

V = · · = .
Пусть точка M лежит на ребре CD данного правильного тетраэдра ABCD , причём = . Первая плоскость проходит через точку M параллельно плоскости ABC . Она отсекает от данного тетраэдра подобный ему тетраэдр, причём коэфиициент подобия равен = . Значит, объём отсечённого тетраэдра равен ()3· V = V . Вторая плоскость проходит через точку M параллельно плоскости ABD . Она отсекает от данного тетраэдра подобные ему тетраэдр, причём коэффициент подобия равен = . Значит, объём отсечённого тетраэдра равен ()3· V = V . Следовательно, объём оставшейся части тетраэдра равен
V - V - V = V - V = V = · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования