Сборная России по футболу выиграла у сборной Туниса со счетом  9 : 5.  Докажите, что по ходу матча был момент, когда сборной России оставалось забить столько голов, сколько уже забила сборная Туниса.

   Решение

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Существует ли такая бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия {a_n} из натуральных чисел, что произведение a_n...a_n+9 делится на сумму
a_n +... + a_n+9  при любом натуральном n?

Решение

  Предположим, что такая прогрессия существует. Тогда число  A_n = (2a_n)...(2a_n+9)  делится на  B_n = a_n+4 = a_n+5  при любом натуральном n. С другой стороны, обозначив через d разность прогрессии, имеем  A_n = (B_n – 9d)(B_n – 7d)...(B_n – d)(B_n + d)...(B_n + 7d)(B_n + 9d).
  Значит,  A_n = B_nC_n + D,  где C_n – целое число,  D = – d¹⁰(1·3·...·7·9)².  Из этого равенства ясно, что A_n не делится на B_n при B_n > D.  Противоречие.

Ответ

Не существует.

Источники и прецеденты использования