Версия для печати
Убрать все задачи

---

На берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя из сосен, а вершины другого – с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на две тройки. Сколько раз придётся опуститься на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад?

   Решение

Темы:    [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Ортогональное проектирование ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Два квадрата ABCD и KLMN расположены в пространстве так, что центр квадрата KLMN совпадает с серединой стороны AB . Точка A лежит на стороне LM и AM<AL , точка N равноудалена от точек B и C . Расстояние от точки M до ближайшей к ней точки квадрата ABCD равно 2 , а расстояние от точки K до ближайшей к ней точки квадрата ABCD равно 5. Найдите длины сторон квадратов ABCD и KLMN и расстояние от точки N до плоскости ABCD .

Решение

Пусть O – середина стороны AB квадрата ABCD (рис.2). Поскольку точка O – центр квадрата KLMN и точка A лежит на стороне ML этого квадрата, точка B , симметричная точке A относительно O , лежит на противоположной стороне KN квадрата KLMN , причём AM = BK = 5 . Обозначим AB =a , NBA = α . Пусть F – середина KN . Точка F лежит между точками N и B , т.к BK = AM < AL = BN . Из прямоугольных треугольников BOF и NOF находим, что

BF = BO cos FBO = cos α, FN = FO = BO sin FBO = sin α.
Поэтому
BN = BF+FN = cos α+ sin α= ( cos α+ sin α).
Пусть N' – ортогональная проекция точки N на плоскость квадрата ABCD (рис.1). Тогда N'B и N'C – проекции на плоскость ABCD равных наклонных NC и NB , поэтому N'B=N'C . Значит, высота N'Q равнобедренного треугольника BN'C является его медианой, т.е. BQ=CQ = . Пусть P – проекция точки N' на прямую AB пересечения плоскостей данных квадратов. Тогда NPN' – линейный угол двугранного угла между плоскостями квадратов. Обозначим NPN'=β . Из прямоугольных треугольников NPB и NN'P находим, что
NP = BN sin NBO = ( cos α+ sin α) sin α,

N'P = NP cos NPN' = ( cos α+ sin α) sin α cos β.
Поскольку BPN'Q – прямоугольник, N'P=BQ= , или
( cos α+ sin α) sin α cos β = ,
откуда
( cos α+ sin α) sin α cos β = 1.
Пусть M' – проекция точки M на плоскость квадрата ABCD , а G и H – проекции точки M' на прямые AB и AD соответственно. Тогда MGM' – также линейный угол между плоскостями данных квадратов, поэтому MGM'=β . Из прямоугольных треугольников AMG , MGM' и MM'H находим, что
AG = AM cos MAG = BK cos NBA = 5 cos α, MG = AM sin α = 5 sin α,

MM' = MG sin MGM' = 5 sin α sin β,

MH = = = 5,
а т.к. H есть ближайшая к M точка квадрата ABCD , то MH=2 , т.е.
5=2.
Из системы

находим, что tg α = или tg α = , а т.к.
α = NBO = BOK + BKO = BOK + 45^o>45^o
(по теореме о внешнем угле треугольника), то tg α > 1 , поэтому tg α = . Тогда
cos α = = , sin α = tg α cos α = ,

cos β = , sin β = , tg β = .
Применяя теорему синусов к треугольнику BOK получим, что
= , = .
Следовательно,
a = = = 10.
Пусть E – проекция точки A на прямую KN . Тогда
MN = AE = AB sin NBA = a sin α = 10· = 30.
Наконец, из прямоугольного треугольника NN'P находим, что
NN' = N'P tg β = · = · = 10.

Ответ

10 , 30, d = 10 .

Источники и прецеденты использования