На высотах BB₁ и CC₁ треугольника ABC взяты точки B₂ и C₂ так, что   ∠AB₂C = ∠AC₂B = 90°.  Докажите, что  AB₂ = AC₂.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка M взята на стороне AC равностороннего треугольника ABC, а на продолжении стороны BC за точку C отмечена точка N, причём  BM = MN.
Докажите, что  AM = CN.

Решение

  Пусть прямая, проведённая через точку M параллельно BC, пересекает сторону AB в точке K. Тогда  ∠BKM = ∠MCN = 120°  и треугольник AKM – равносторонний.
  Обозначим  ∠KMB = ∠CBM = ∠CNM = α.  Тогда  ∠KBM = 60° – α = ∠NMC,  а так как  BM = MN,  то треугольники BKM и MCN равны по стороне и двум углам. Следовательно,   AM = KM = CN.

Источники и прецеденты использования