Существуют ли такие 99 последовательных натуральных чисел, что наименьшее из них делится на 100, следующее делится на 99, третье делится на 98, ..., последнее делится на 2?

   Решение

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Найдите все такие числа a, что для любого натурального n число  an(n + 2)(n + 3)(n + 4)  будет целым.

Решение

  Подставив  n = 1,  n = 3  и  n = 4,  получаем, что числа 2²·3·5a, 2·3²·5·7a и 2⁶·3·7a – целые. Значит, a – рациональное число, имеющее несократимую запись ^p/_q, где q является делителем числа  НОД(2²·3·5, 2·3²·5·7, 2⁶·3·7) = 6.  Итак,  a = ^k/₆  при некотором целом k.
  Осталось показать, что все числа такого вида подходят. Действительно, одно из трёх последовательных чисел  n + 2,  n + 3,  n + 4  делится на 3, а одно из последовательных чисел  n + 2,  n + 3  делится на 2; значит,  n(n + 2)(n + 3)(n + 4)  делится на 6. Поэтому
an(n + 2)(n + 3)(n + 4) = ⅙ kn(n + 2)(n + 3)(n + 4)  – целое число.

Ответ

a = ^k/₆,  где k – любое целое число.

Замечания

1. Согласно задаче 61451 многочлен  ax(x + 2)(x + 3)(x + 4)  принимает целые значения не только при всех натуральных, но и при всех
целых x. Подставляя  x = –1,  сразу получаем, что 6a – целое число.

2. Ср. с задачей 116544.

Источники и прецеденты использования