Задача 111063

Темы:    [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Биссектриса CD угла ACB при основании BC равнобедренного треугольника ABC делит сторону AB так, что AD=BC . Найдите биссектрису CD и площадь треугольника ABC , если BC=2 .

Решение

Докажем сначала, что квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.
Пусть M — точка пересечения продолжения биссектрисы CD треугольника ABC с описанной около этого треугольника окружностью. Тогда треугольник CBD подобен треугольнику CMA по двум углам. Поэтому

= , или CD(CD+DM) = AC· BC,

CD2 + CD· DM = AC· BC.
Следовательно,
CD2 = AC· BC - CD· DM = AC· BC - AD· BD
( CD· DM = AD· DB по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд).
Вернёмся к нашей задаче. Обозначим AB = AC = x . Тогда BD = 2-x и из доказанного утверждения следует, что
CD2 = AC· BC - AD· BD = x· 2 - 2· (x-2) = 2x-2x+4 = 4.
Значит, CD=2 .
Поскольку CD = AD = BC , треугольники ACD и CBD — равнобедренные. Пусть BAC = α . Тогда
ACD = CAD = α, CBD = BDC = CAD + ACD = 2α,
a т.к. сумма углов треугольника BCD равна 180^o , получаем уравнение
α + 2α + 2α = 180^o,
из которого находим, что α = 36^o .
Пусть AH — высота треугольника ABC . Тогда BH=CH = 1 . Из прямоугольного треугольника ABH находим, что
AH = BH tg CBA = 1· tg 2α = tg 72^o.
Следовательно,
S_{Δ ABC} = BC· AH = · 2 tg 72^o= tg 72^o.

Если воспользоваться свойством биссектрисы треугольника, то можно легко вычислить tg 72^o . Действительно,
= = x2-2x-4 = 0 x=1+

cos 72^o = cos ABC = =

tg 72^o = = = .




Пусть прямая, проведённая через точку D параллельно BC , пересекает сторону AC в точке E . Тогда CDE= BCD= DCE , поэтому треугольник CDE — равнобедренный, значит, BD=CE=DE , а т.к. ADE= ABC и AD=BC , то треугольник BCD равен треугольнику ADE по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, CD=AE=AD=2 .
Обозначим CE=BD=t . По свойству биссектрисы треугольника = , или = , откуда t=-1 , поэтому AB=t+2=+1 .
Пусть AH — высота треугольника ABC . По теореме Пифагора
AH=== .
Следовательно,
S_{Δ ABC}=BC· AH= · 2· =.

Ответ

2; tg 72^o= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4418