Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сферической планете с длиной экватора 1 планируют проложить N кольцевых дорог, каждая из которых будет идти по окружности длины 1. Затем по каждой дороге запустят несколько поездов. Все поезда будут ездить по дорогам с одной и той же положительной постоянной скоростью, никогда не останавливаясь и не сталкиваясь. Какова в таких условиях максимально возможная суммарная длина всех поездов? Поезда считайте дугами нулевой толщины, из которых выброшены концевые точки. Решите задачу в случаях:  а)  N = 3;  б)  N = 4.

   Решение

Темы:    [ Взвешивания ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

По кругу расставлены 10 железных гирек. Между каждыми соседними гирьками находится бронзовый шарик. Масса каждого шарика равна разности масс соседних с ним гирек. Докажите, что шарики можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы уравновесились.

Решение

  Обозначим массы гирек через m_i, а массы шариков — через x_i. Имеем

Действительно, каждое m_i входит в эту сумму два раза: один раз со знаком "+", а второй раз — со знаком "-". Поэтому все m_i сократятся.

Заметим, что каждая из величин в скобках (m_i - m_{i + 1}) по модулю равна массе i-го шарика. Значит, это равенство можно переписать так:

где перед некоторыми x_i стоит знак "+", а перед остальными — "-". Положим все шарики x_i, перед которыми стоят знаки "+" на левую чашу весов, а остальные — на правую. Ясно, что весы будут в равновесии.

Источники и прецеденты использования