Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
В клетках квадратной таблицы 10×10 стоят ненулевые цифры. В каждой строчке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр произвольным образом составлено десятизначное число. Может ли оказаться так, что из двадцати получившихся чисел ровно одно не делится на 3?
Король стоит на поле a1 шахматной доски. За ход разрешается сдвинуть его на одну клетку вправо, или на одну клетку вверх, или на одну клетку вправо-вверх. Выигрывает тот, кто поставит короля на клетку h8. Кто выигрывает при правильной игре?
Дана геометрическая прогрессия. Известно, что её первый, десятый и тридцатый члены являются натуральными числами.
Верно ли, что её двадцатый член также является натуральным числом?
Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел в первой группе нацело делится на произведение чисел во второй.
Какое наименьшее значение может быть у частного от деления первого произведения на второе?
Факториальная система счисления. Докажите, что каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде
|
|
 |
Условие
Имеется 11 мешков монет. В 10 из них монеты настоящие, а в одном – все монеты фальшивые. Все настоящие монеты одного веса, все фальшивые монеты – также одного, но другого веса. Имеются весы, с помощью которых можно определить, какой из двух грузов тяжелее и на сколько. Двумя взвешиваниями определить, в каком мешке фальшивые монеты.
Решение
Первое взвешивание. На одну чашу кладем по одной монете
из 10 мешков, на другую – 10 монет из оставшегося мешка.
Второе взвешивание. На первую чашу кладем одну монету из первого мешка, две монеты из второго, три – из третьего, ..., 10 монет из десятого. На другую – 55 монет из последнего (того же, что в прошлый раз)
мешка.
Пусть x – разность между весом фальшивой и настоящей монеты (возможно, x < 0, i – номер мешка с фальшивыми монетами. Разберём два случая.
1) i < 11. Тогда при первом взвешивании весы
покажут разность весов x, а при втором – ix.
2) i = 11. Тогда при первом взвешивании весы покажут число – 10x, а при втором – 55x.
Найдём отношение показаний весов при первом и втором взвешивании. Если это отношение – целое число, то оно равно номеру мешка с фальшивыми монетами (случай 1). Если же оно – нецелое, то фальшивые монеты находятся в мешке номер 11 (случай 2).
