Задача 110139

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Голованов А.С.

Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел в первой группе нацело делится на произведение чисел во второй.
Какое наименьшее значение может быть у частного от деления первого произведения на второе?

Решение

  Среди чисел от 1 до 10 на 7 делится только сама семерка. Значит, она должна входить в первую группу, и частное не меньше 7.
  Пример, когда оно равно 7:  (3·5·6·7·8) : (1·2·4·9·10).

Ответ

7.

Замечания

Пример легко строится, если заметить, что  1·2·3·4·5·6·7·8·9·10 = 2⁸·3⁴·5²·7,  то есть надо добиться, чтобы произведение пяти чисел второй группы равнялось 2⁴·3²·5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2003
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	8
задача
Номер	03.4.8.1