На доске нарисованы три четырёхугольника. Петя сказал: "На доске нарисованы по крайней мере две трапеции". Вася сказал: "На доске нарисованы по крайней мере два прямоугольника". Коля сказал: "На доске нарисованы по крайней мере два ромба". Известно, что один из мальчиков сказал неправду, а двое других – правду. Докажите, что среди нарисованных на доске четырёхугольников есть квадрат.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Малыш и Карлсон режут квадратный торт. Карлсон выбирает на нём точку (не на границе). После этого Малыш делает прямолинейный разрез от выбранной точки до края (в любом направлении). Затем Карлсон проводит второй прямолинейный разрез от выбранной точки до края, перпендикулярный первому, и отдаёт меньший из получившихся двух кусков Малышу. Малыш хочет получить хотя бы четверть торта. Может ли Карлсон ему помешать?

Решение

Малыш проводит разрез через выбранную Карлсоном точку K и центр O торта (если Карлсон выбрал O, проводит любой возможный разрез). Прямая l, проведённая через O перпендикулярно KO, вместе с прямой KO делят торт на четыре одинаковых куска. Оба куска, которые может отсечь Карлсон (отрезком, параллельным l), не меньше этих четвертинок.

Ответ

Не может.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования