Пусть a и b — длины катетов прямоугольного треугольника, c — длина его гипотенузы. Докажите, что:

а) радиус вписанной окружности треугольника равен (a + b - c)/2;

б) радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен (a + b + c)/2.

   Решение

На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешено стереть любые два числа и вместо них записать одно число – модуль их разности. После 49-кратного повторения указанной процедуры на доске останется одно число. Какое это может быть число?

   Решение

Темы:    [ Обход графов ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В углах шахматной доски 3×3 стоят четыре коня: два белых (в соседних углах) и два чёрных.
Можно ли за несколько ходов поставить коней так, чтобы во всех соседних углах стояли кони различного цвета?

Подсказка

Кони ходят только циклу из восьми полей.

Решение

Отметим центры клеток доски и соединим отрезками пары отмеченных точек, если из одной в другую можно пройти ходом коня. Получится "цикл" из восьми точек. Перемещение коней по доске соответствует движению по рёбрам этого цикла. Но при движении по циклу нельзя изменить порядок следования коней.

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования