|
|
 |
Условие
На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешено стереть любые два числа и вместо них записать одно число – модуль их разности. После 49-кратного повторения указанной процедуры на доске останется одно число. Какое это может быть число?
Решение
Ясно, что любое написанное на доске число будет заключено между 0 и 50. Кроме того, оно нечётно (см. решение задачи 30303).
Покажем, что любое из нечётных чисел от 1 до 49 может получиться. Пусть мы хотим получить число 2m + 1 (m = 0, 1, ..., 24). Разобьём числа от 1 до 50 на пары так: (1, 2m + 2), (2, 3), (4, 5), ..., (2m, 2m + 1), (2m + 3, 2m + 4), ..., (49, 50). Запишем вместо каждой пары модуль разности входящих в неё чисел: 2m + 1, 1, ..., 1 (24 единицы). Осталось избавиться от единиц. Для этого можно, разбив их на пары, получить 12 нулей, а потом избавиться и от нулей (вместо пары (a, 0) мы можем писать одно число |a – 0| = a).
Ответ
Любое из 25 чисел 1, 3, 5, ..., 49.
Замечания
Когда вначале на доске выписаны числа от 1 до n, в конце может получиться любое целое число k от 0 до n той же чётности, что ½ n(n + 1) (то есть k чётно, если n даёт при делении на 4 остаток 3 или 0, и нечётно, если остаток 1 или 2).
