В некотором государстве города соединены дорогами. Длина каждой дороги меньше 500 км, и из каждого города в любой другой можно попасть, проехав по дорогам меньше 500 км. Когда одна дорога оказалась закрытой на ремонт, выяснилось, что из каждого города можно проехать по оставшимся дорогам в любой другой. Доказать, что при этом можно проехать меньше 1500 км.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 2- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании . Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся первой окружности и основания треугольника, причём точка касания является серединой основания. Найдите радиус второй окружности. Если решение не единственное, рассмотрите все случаи.

Подсказка

Диаметр одной из искомых окружностей — высота данного треугольника, а другой — разность между диаметром описанной окружности и диаметром первой искомой окружности.

Решение

Пусть CK — диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC (AC = BC, AB = a, A = B = ). Тогда середина M основания AB принадлежит этому диаметру, а CM и MK — диаметры искомых окружностей.

Пусть r и x — радиусы искомых окружностей. Тогда

r = CM = AM ^. tg = tg,

x = MK = AM ^. ctgAKM = ctg.

Источники и прецеденты использования