Замок обнесён круговой стеной с девятью башнями, на которых дежурят рыцари. По истечении каждого часа все они переходят на соседние башни, причём каждый рыцарь движется либо все время по часовой стрелке, либо против. За ночь каждый рыцарь успевает подежурить на каждой башне. Известно, что был час, когда на каждой башне дежурили хотя бы два рыцаря, и был час, когда ровно на пяти башнях дежурили ровно по одному рыцарю. Докажите, что был час, когда на одной из башен вообще не было рыцарей.

   Решение

Даны три параллельные прямые на равных расстояниях друг от друга. Как надо изображать точками соответствующих прямых величины сопротивления, напряжения и силы тока в проводнике, чтобы, прикладывая линейку к точкам, изображающим значения сопротивления R и значения силы тока I, получить на шкале напряжения точку, изображающую величину напряжения V = I ^. R (точка каждой шкалы изображает одно и только одно число).

   Решение

Найдите все n, при которых для любых двух многочленов P(x) и Q(x) степени n найдутся такие одночлены ax^k и bx^l
(0 ≤ k ≤ n,  0 ≤ l ≤ n),  что графики многочленов  P(x) + ax^k  и  Q(x) + bx^l  не будут иметь общих точек.

   Решение

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 2 Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Найдите два таких простых числа, что и их сумма, и их разность – тоже простые числа.

Решение

Если оба числа нечётны, то и сумма их, и разность будут чётны, а чётное простое число всего одно. Это значит, что среди искомых простых чисел обязательно одно чётное, то есть равно 2. Поэтому разность, второе число и сумма являются последовательными нечётными числами. Среди таких чисел одно обязательно делится на 3. Значит, одно из них равно 3. Итак, одно из чисел равно 2, разность (или сумма) равна 3. Единственная возможность – искомые числа 2 и 5.

Ответ

 2 и 5.

Источники и прецеденты использования