Клетки бесконечного клетчатого листа бумаги раскрасили в чёрный и белый цвета в шахматном порядке. Пусть X – треугольник площади S с вершинами в узлах сетки. Покажите, что есть такой подобный X треугольник с вершинами в узлах сетки, что площадь его белой части равна площади чёрной части и равна S.

   Решение

Темы:    [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Тригонометрический круг ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 2+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике тангенс одного из углов равен числу m. Могут ли тангенсы каждого из трёх остальных углов также равняться m?

Решение

Из условия следует, что в четырёхугольнике нет прямых углов. Так как сумма его углов равна 360°, то есть хотя бы один тупой угол и хотя бы один острый угол. Но тангенсы тупого и острого углов имеют разные знаки.

Ответ

Не могут.

Замечания

1. 6 баллов.

1. Ср. с задачей 86112.

Источники и прецеденты использования