Информация о задаче

Задача 61300

Тема:

[

Рекуррентные соотношения (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть a и k > 0 произвольные числа. Определим последовательность {a_n} равенствами

a₀ = a, a_{n + 1} = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right.$ a_n + $\displaystyle {\frac{k}{a_n}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right)$ (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что при любом неотрицательном n выполняется равенство

$\displaystyle {\frac{a_n-\sqrt k}{a_n+\sqrt k}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}\right)^{2^n}_{}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Итерации
Тема	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)
задача
Номер	09.049