На дуге AC описанной окружности правильного треугольника ABC взята точка M, отличная от C, P – середина этой дуги. Пусть N – середина хорды BM, K – основание перпендикуляра, опущенного из точки P на MC. Докажите, что треугольник ANK правильный.

   Решение

Темы:    [ Равные треугольники. Признаки равенства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке K. Известно, что  AC || BD.  Докажите, что треугольники AKC и BKD равнобедренные.

Подсказка

Через точку A проведите прямую, параллельную CD.

Решение

Через точку A проведём прямую, параллельную CD, до пересечения с продолжением отрезка BD в точке M. Треугольники AMD и DCA равны по стороне
(AD – общая) и двум прилежащим к ней углам, поэтому  AM = CD = AB.  Значит, треугольник BAM – равнобедренный. Следовательно,
∠KDB = ∠AMB = ∠ABM = ∠KBD,  то есть треугольник DKB также равнобедренный. Далее очевидно.

Источники и прецеденты использования