Имеется два набора чисел  a₁ > a₂ > ... > a_n  и  b₁ > b₂ > ... > b_n.  Доказать, что  a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n > a₁b_n + a₂b_n–1 + ... + a_nb₁.

   Решение

Тема:    [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

К двум окружностям, касающимся извне, проведены общие внешние касательные и точки касания соединены между собой. Доказать, что в полученном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Решение

Пусть O — точка касания окружностей, A и D — точки касания с окружностями одной касательной, B и C — точки касания другой касательной (точки A и B лежат на одной окружности, C и D на другой). Проведём через точку O общую касательную к окружностям. Пусть она пересекает прямые BC и AD в точках P и Q. Две касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, поэтому PB = PO = PC и QA = QO = QD. Из этого следует, что: 1) отрезок PQ является средней линией трапеции ABCD; 2) длина отрезка PQ равна полусумме длин сторон BC и AD. Остаётся заметить, что длина средней линии трапеции ABCD равна полусумме длин её оснований AB и CD.

Источники и прецеденты использования