Задача 78186

Темы:    [ Квадратные неравенства и системы неравенств ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Имеется два набора чисел  a₁ > a₂ > ... > a_n  и  b₁ > b₂ > ... > b_n.  Доказать, что  a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n > a₁b_n + a₂b_n–1 + ... + a_nb₁.

Решение

Сгруппируем в обоих выражения члены, равноотстоящие от концов. В результате получим, что разность между выражением слева и выражением справа равна сумме выражений вида  a_kb_k + a_n+1–kb_n+1–k – a_kb_n+1–k – a_n+1–kb_k = (a_k – a_n+1–k)(b_k – b_n+1–k) > 0.

Замечания

Доказанное утверждение – частный случай транснеравенства (см. задачу 61385).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	22
Год	1959
вариант
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	1