Разделить  a^2k – b^2k  на  (a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)...(a^2k–1 + b^2k–1).

   Решение

Пусть P(x) – многочлен степени  n > 1  с целыми коэффициентами, k – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен
Q_k(x) = P(P(...P(P(x))...))  (P применён k раз). Докажите, что существует не более n целых чисел t, при которых  Q_k(t) = t.

   Решение

Темы:    [ Неравенства с углами ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b, c – длины сторон треугольника; α, β, γ – величины противолежащих углов. Докажите, что    aα + bβ + cγ ≥ aβ + bγ + cα.

Решение

Поскольку в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, утверждение задачи представляет собой частный случай транснеравенства (см. задачу 61385).

Источники и прецеденты использования