Имеются две страны: Обычная и Зазеркалье. У каждого города в Обычной стране есть "двойник" в Зазеркалье, и наоборот. Однако если в Обычной стране какие-то два города соединены железной дорогой, то в Зазеркалье эти города не соединены, а каждые два несоединённых в Обычной стране города обязательно соединены железной дорогой в Зазеркалье. В Обычной стране девочка Алиса не может проехать из города A в город B, сделав менее двух пересадок. Доказать, что Алиса в Зазеркалье сможет проехать из любого города в любой другой, сделав не более двух пересадок.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан прямоугольный треугольник ABC. Пусть M – середина гипотенузы AB, O – центр описанной окружности ω треугольника CMB. Прямая AC вторично пересекает окружность ω в точке K. Прямая KO пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке L. Докажите, что прямые AL и KM пересекаются на описанной окружности треугольника ACM.

Решение

  Пусть прямые AL и KM пересекаются в точке N. Так как Так как BK – диаметр ω, то угол KMB – прямой и O лежит на BK. Так как AB – диаметр описанной около треугольника ABC окружности, то угол ALB – также прямой. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ.  ∠ABL = ∠MBK = ∠MCK = ∠MCA.  Угол между прямыми AL и KM равен углу ABL (углы с взаимно перпендикулярными сторонами), то есть углу MCA (см. рис.), что и требовалось.

  Второй способ. K – точка пересечения высот BL и NM треугольника ABN. Значит, AC – его третья высота, то есть угол ACN – прямой, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования