Выбрана 1 задача 
Версия для печати
Убрать все задачи
Дан треугольник ABC. Пусть O — точка пересечения его медиан, а M, N и P — точки сторон AB, BC и CA, делящие эти стороны в одинаковых отношениях (т. е. AM : MB = BN : NC = CP : PA = p : q). Докажите, что:
а) O — точка пересечения медиан треугольника MNP;
б) O — точка пересечения медиан треугольника, образованного прямыми AN, BP и CM.
Решение
Убрать все задачи
Дан треугольник ABC. Пусть O — точка пересечения его медиан, а M, N и P — точки сторон AB, BC и CA, делящие эти стороны в одинаковых отношениях (т. е. AM : MB = BN : NC = CP : PA = p : q). Докажите, что:
а) O — точка пересечения медиан треугольника MNP;
б) O — точка пересечения медиан треугольника, образованного прямыми AN, BP и CM.
Решение
Задача 64485
|
|
 |
Условие
Сумма восьми чисел равна 4/3. Оказалось, что сумма каждых семи чисел из этих восьми – положительна. Какое наименьшее целое значение может принимать наименьшее из данных чисел?
Решение
Оценка. По условию a1 + a2 + ... + a8 = 4/3. Пусть a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a8. Тогда a8 > 0, кроме того, a1 + a2 + ... + a7 > 0, поэтому a8 < 4/3. Следовательно,
a2 + a3 + ... + a7 < 6a8 < 6·4/3 = 8. Значит, a1 > –8.
Пример. Пусть a1 = –7, a2 = a2 = a3 = ... = a1 = 25/21. Тогда –7 + 7·25/21 = 7·4/21 = 4/3. При этом –7 + 6·25/21 = 50/7 – 7 > 0, то есть сумма каждых семи чисел положительна.
Ответ
–7.
