Условие
Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Прямая $l \parallel AC$ пересекает прямые $AD, BC, AB, CD$ в точках $X, Y, Z, T$. Описанные окружности треугольников $XYB$ и $ZTB$ вторично пересекаются в точке $R$. Докажите, что $R$ лежит на прямой $BD$.
Решение
Пусть прямая $BD$ пересекает $XT$ в точке $U$.
Применяя теорему Менелая к треугольнику $BUZ$ и точкам $X$, $A$, $D$, получаем
$$
\frac{XZ}{XU}\cdot\frac{UD}{DB}\cdot\frac{AB}{AZ}=1.
$$
Аналогично
$$
\frac{TY}{TU}\cdot\frac{UD}{DB}\cdot\frac{BC}{CY}=1.
$$
Отсюда, поскольку $AB:AZ=BC:CY$, получаем, что $UX:UZ=UT:UY$, т.е. степени точки $U$ относительно обеих окружностей равны. Поэтому $U$, а значит и $D$, лежат на прямой $BR$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2024 |
|
класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
8.7 |
