Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда AHBKCLDMEN (рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от A, B, C, D, E, лежат на одной окружности.

   Решение

Тема:    [ Угол (экстремальные свойства) ]

Сложность: 3 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Проведите через данную точку P, лежащую внутри угла AOB, прямую MN так, чтобы величина OM + ON была минимальной (точки M и N лежат на сторонах OA и OB).

Решение

Возьмем на сторонах OA и OB точки K и L так, что KP| OB и LP| OA. Тогда KM : KP = PL : LN, а значит, KM + LN2 = 2 = 2, причем равенство достигается, когда KM = LN = . Ясно также, что OM + ON = (OK + OL) + (KM + LN).

Источники и прецеденты использования