Версия для печати
Убрать все задачи

---

В квадрате со стороной 1 проведено конечное количество отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведенных отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые разбивается квадрат этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше 0,01.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. На стороне $BC$ нашлись точки $X$ и $Y$ такие, что $AX=BX$ и $AY=CY$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $AXY$, проходит через центры описанных окружностей треугольников $AOB$ и $AOC$.

Решение

Из условия следует, что $OX$ – серединный перпендикуляр к $AB$, т.е. центр $O_1$ описанной окружности треугольника $AOB$ лежит на $OX$ и $\angle AO_1X=\angle AO_1B/2=\pi-2\angle C=\angle AYX$ (см. рис.).

При других расположениях точек рассуждение аналогично.

Источники и прецеденты использования