Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
|
|
Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11
|
Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. На стороне BC нашлись точки X и Y такие, что AX=BX и AY=CY. Докажите, что окружность, описанная около треугольника AXY, проходит через центры описанных окружностей треугольников AOB и AOC.
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11
|
Через точку внутри треугольника провели три чевианы. Оказалось, что длины шести отрезков, на которые они разбивают стороны треугольника, образуют в каком-то порядке геометрическую прогрессию. Докажите, что длины чевиан тоже образуют геометрическую прогрессию.
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
Дан вписанный в окружность пятиугольник. Докажите, что отношение его площади к сумме диагоналей не превосходит четверти радиуса окружности.
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10
|
Внутри остроугольного неравнобедренного треугольника ABC отмечена точка T, такая что ∠ATB=∠BTC=120∘. Окружность с центром E проходит через середины сторон треугольника ABC. Оказалось, что точки B,T,E лежат на одной прямой. Найдите угол ABC.
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Диагонали трапеции ABCD (BC∥AD) пересекаются в точке O. На отрезках BC и AD выбраны соответственно точки M и N. К окружности AMC проведена касательная из C до пересечения с лучом NB в точке P; к окружности BND из D проведена касательная до пересечения с лучом MA в точке R. Докажите, что ∠BOP=∠AOR.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]