Задача 66971

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Точка Торричелли ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Дидин М., Фролов И.И.

Внутри остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ отмечена точка $T$, такая что $\angle ATB = \angle BTC = 120^\circ$. Окружность с центром $E$ проходит через середины сторон треугольника $ABC$. Оказалось, что точки $B,T,E$ лежат на одной прямой. Найдите угол $ABC$.

Решение

Пусть $A_0$, $B_0$, $C_0$ – середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно, $D$ – вершина правильного треугольника $ABD$, построенного во внешнюю сторону. Известно, что точка $T$ лежит на отрезке $BD$. При гомотетии с центром $B$ и коэффициентом $1/2$ прямая $B_0D$ переходит в серединный перпендикуляр к отрезку $A_0C_0$, следовательно, $E$ – середина $BD$ и $\angle C_0EA_0=60^{\circ}$. Соответственно, $\angle ABC=\angle A_0B_0C_0=30^{\circ}$.

Ответ

$30^{\circ}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2021
класс
Класс	9
задача
Номер	9.3