Задача 66970

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Площадь четырехугольника ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

Дан вписанный в окружность пятиугольник. Докажите, что отношение его площади к сумме диагоналей не превосходит четверти радиуса окружности.

Решение

Пусть $A_1A_2A_3A_4A_5$ – пятиугольник, вписанный в окружность с центром $O$. Тогда для каждого $i=1,\ldots,5$ справедливо $S_{OA_{i-1}A_iA_{i+1}}\leq OA_i\cdot A_{i-1}A_{i+1}/2$ (считаем, что $A_{i+5}=A_i$). Сумма площадей этих пяти четырехугольников не меньше удвоенной площади пятиугольника, откуда и следует искомое неравенство.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2021
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2