ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66973
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. На стороне $BC$ нашлись точки $X$ и $Y$ такие, что $AX=BX$ и $AY=CY$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $AXY$, проходит через центры описанных окружностей треугольников $AOB$ и $AOC$.

Решение

Из условия следует, что $OX$ – серединный перпендикуляр к $AB$, т.е. центр $O_1$ описанной окружности треугольника $AOB$ лежит на $OX$ и $\angle AO_1X=\angle AO_1B/2=\pi-2\angle C=\angle AYX$ (см. рис.).

При других расположениях точек рассуждение аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2021
класс
Класс 9
задача
Номер 9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .