ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 66969
УсловиеЧерез точку внутри треугольника провели три чевианы. Оказалось, что длины шести отрезков, на которые они разбивают стороны треугольника, образуют в каком-то порядке геометрическую прогрессию. Докажите, что длины чевиан тоже образуют геометрическую прогрессию.
РешениеБудем считать, что длина наименьшего из шести отрезков равна 1. Тогда длины остальных равны $q$, $q^2$, $q^3$, $q^4$ и $q^5$, где $q\geq 1$ – знаменатель прогрессии. По теореме Чевы произведение каких-то трех из этих отрезков равно произведению трех остальных, т.е. $\sqrt{q^{15}}$. Это возможно только при $q=1$. Значит, данный треугольник равносторонний, а чевианы являются его медианами, т.е. их длины равны. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке