ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66969
Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Геометрическая прогрессия ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через точку внутри треугольника провели три чевианы. Оказалось, что длины шести отрезков, на которые они разбивают стороны треугольника, образуют в каком-то порядке геометрическую прогрессию. Докажите, что длины чевиан тоже образуют геометрическую прогрессию.

Решение

Будем считать, что длина наименьшего из шести отрезков равна 1. Тогда длины остальных равны $q$, $q^2$, $q^3$, $q^4$ и $q^5$, где $q\geq 1$ – знаменатель прогрессии. По теореме Чевы произведение каких-то трех из этих отрезков равно произведению трех остальных, т.е. $\sqrt{q^{15}}$. Это возможно только при $q=1$. Значит, данный треугольник равносторонний, а чевианы являются его медианами, т.е. их длины равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2021
класс
Класс 9
задача
Номер 9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .