Задача 66969

Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Ивлев Ф., Марданов А.

Через точку внутри треугольника провели три чевианы. Оказалось, что длины шести отрезков, на которые они разбивают стороны треугольника, образуют в каком-то порядке геометрическую прогрессию. Докажите, что длины чевиан тоже образуют геометрическую прогрессию.

Решение

Будем считать, что длина наименьшего из шести отрезков равна 1. Тогда длины остальных равны $q$, $q^2$, $q^3$, $q^4$ и $q^5$, где $q\geq 1$ – знаменатель прогрессии. По теореме Чевы произведение каких-то трех из этих отрезков равно произведению трех остальных, т.е. $\sqrt{q^{15}}$. Это возможно только при $q=1$. Значит, данный треугольник равносторонний, а чевианы являются его медианами, т.е. их длины равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2021
класс
Класс	9
задача
Номер	9.1