Пусть A', B', C', D', E', F' – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного выпуклого шестиугольника ABCDEF. Известны площади треугольников ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.

   Решение

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Векторы сторон многоугольников ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан правильный 12-угольник A₁A₂...A₁₂.
Можно ли из 12 векторов    выбрать семь, сумма которых равна нулевому вектору?

Решение

Отложим векторы, равные данным, из одной точки. Они поделят полный угол при ней на углы по 30°. Возьмём любые три вектора, образующие между собой углы по 120°. Сумма этих векторов нулевая. Среди оставшихся девяти векторов есть три пары противоположных. Добавив две такие пары к трём выбранным векторам, получим искомую семёрку.

Ответ

Можно.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования