ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98329
Темы:    [ Шестиугольники ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть A', B', C', D', E', F' – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного выпуклого шестиугольника ABCDEF. Известны площади треугольников ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.


Решение

Опустим из точек C, C', D перпендикуляры CK, C'L, DM на AB. Заметим, что  C'L = ½ (CK + DM)  как средняя линия трапеции KCDM. Рассматривая треугольники ABC, ABC', ABD с общим основанием AB и высотами соответственно CK, C'L, DM, получим отсюда соотношение  2SABC' = SABC + SABD.  Напишем аналогичные соотношения для всех указанных в условии треугольников и сложим их:
  2·(SABC' + SBCD' + SCDE' + SDEF' + SEFA' + SFAB') = SABC + SABD + SBCD + SBCE + SCDE + SCDF + SDEF + SDEA + SEFA + SEFB + SFAB + SFAC =
= (SABC + SFAC + SCDF + SDEF) + (SBCD + SABD + SDEA + SEFA) + (SCDE + SBCE + SEFB + SFAB) = 3SABCDEF   (треугольники в каждой скобке полностью покрывают шестиугольник).


Ответ

⅔ суммы площадей указанных треугольников.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1997
выпуск
Номер 1
Задача
Номер М1579
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 18
Дата 1996/1997
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .