Докажите, что треугольник ABC остроугольный тогда и только тогда, когда на его сторонах BC, CA и AB можно выбрать такие внутренние точки A₁, B₁ и C₁, что  AA₁ = BB₁ = CC₁.

   Решение

Тема:    [ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Многоугольник M' гомотетичен многоугольнику M с коэффициентом гомотетии -1/2. Докажите, что существует параллельный перенос, переводящий многоугольник M' внутрь многоугольника M.

Решение

Пусть ABC — треугольник наибольшей площади с вершинами в вершинах многоугольника M. Тогда многоугольник M содержится внутри треугольника A₁B₁C₁, серединами сторон которого являются точки A, B и C. При гомотетии с центром в центре масс треугольника ABC и коэффициентом -1/2 треугольник A₁B₁C₁ переходит в треугольник ABC, поэтому многоугольник M переходит внутрь треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования