Лист бумаги имеет форму круга. Можно ли провести на нем пять отрезков, каждый из которых соединяет две точки на границе листа так, чтобы среди частей, на которые эти отрезки делят лист, нашлись пятиугольник и два четырехугольника?

   Решение

Темы:    [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Отрезок MN, параллельный стороне CD четырехугольника ABCD, делит его площадь пополам (точки M и N лежат на сторонах BC и AD). Длины отрезков, проведенных из точек A и B параллельно CD до пересечения с прямыми BC и AD, равны a и b. Докажите, что  MN² = (ab + c²)/2, где c = CD.

Решение

Пусть для определенности лучи AD и BC пересекаются в точке O. Тогда  S_CDO : S_MNO = c² : x², где x = MN, и  S_ABO : S_MNO = ab : x², так как  OA : ON = a : x и OB : OM = b : x. Следовательно,  x² - c² = ab - x², т. е.  2x² = ab + c².

Источники и прецеденты использования