Две окружности пересекаются в точках A и B. К ним проведена общая касательная, которая касается первой окружности в точке C, а второй – в точке D. Пусть B – ближайшая к прямой CD точка пересечения окружностей. Прямая CB второй раз пересекает вторую окружность в точке E. Докажите, что AD – биссектриса угла CAE.

   Решение

Темы:    [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ] [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Решите систему уравнений:
   (x₃ + x₄ + x₅)⁵ = 3x₁,
   (x₄ + x₅ + x₁)⁵ = 3x₂,
   (x₅ + x₁ + x₂)⁵ = 3x₃,
   (x₁ + x₂ + x₃)⁵ = 3x₄,
   (x₂ + x₃ + x₄)⁵ = 3x₅.

Решение

Система симметрична относительно циклических перестановок, поэтому можно считать, что x₁ – наибольшее из пяти чисел. Тогда (поскольку функция  f(x) = x⁵  возрастающая),  3x₂ = (x₄ + x₅ + x₁)⁵ ≥ (x₃ + x₄ + x₅)⁵ = 3x₁ ≥ 3x₂,  значит,  x₂ = x₁.  Аналогично доказывается, что все числа равны. Осталось решить уравнение  (3x)⁵ = 3x.

Ответ

Три решения:  (0, 0, 0, 0, 0),  (± ⅓,  ± ⅓,  ± ⅓,  ± ⅓,  ± ⅓).

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования