В киоске около школы продается мороженое двух видов: «Спортивное» и «Мальвина». На перемене 24 ученика успели купить мороженое. При этом 15 из них купили «Спортивное», а 17 – мороженое «Мальвина». Сколько человек купили мороженое обоих сортов?

   Решение

Темы:    [ Треугольники (прочее) ] [ Векторы (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка O. На лучах OA, OB и OC построены векторы единичной длины.
Доказать, что сумма этих векторов имеет длину, меньшую единицы.

Решение

  Пусть , и – построенные векторы единичной длины.

  Первый способ. Построим также вектор     Точка O лежит внутри треугольника ABC, поэтому луч OC₂ лежит внутри угла A₁OB₁. Достроим треугольник A₁OB₁ до ромба A₁OB₁D. Тогда     и     Пусть S – окружность радиуса 1 с центром D. Точка C₂ лежит на образе дуги A₁B₁ этой окружности при симметрии относительно прямой A₁B₁. Следовательно, точка C₂ лежит внутри окружности S, то есть  C₂D ≤ 1,  что и требовалось.

  Второй способ  Точка O лежит внутри треугольника ABC, поэтому треугольник A₁B₁C₁ остроугольный. Пусть H – ортоцентр треугольника A₁B₁C₁. Он лежит внутри описанной окружности треугольника A₁B₁C₁, поэтому  OH ≤ 1.  Но согласно задаче 57693   .

Источники и прецеденты использования