Версия для печати
Убрать все задачи

---

Числа  1, 2, 3, ..., n  записываются в некотором порядке:  a₁, a₂, a₃, ..., a_n.  Берётся сумма  S = ^a₁/₁ + ^a₂/₂ + ... + ^a_n/_n.  Найдите такое n, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках  a₁, a₂, a₃, ..., a_n)  встретились все целые числа от n до  n + 100.

 

   Решение

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Признаки делимости (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.

Решение

Разность двух натуральных чисел, оканчивающихся четырьмя одинаковыми цифрами, делится на  10⁴ = 5⁴·2⁴.  Поэтому остаток от деления на 2⁴ полностью определяется четырьмя последними цифрами. Последние цифры степени двойки не могут быть нулями, а числа 2222, 4444, 6666, 8888 на 16 не делятся.

Источники и прецеденты использования