На диагонали BD параллелограмма ABCD взята точка K. Прямая AK пересекает прямые BC и CD в точках L и M. Докажите, что  AK² = LK·KM.

   Решение

Тема:    [ Симметрия и построения ]

Сложность: 3 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник ABC по стороне c, высоте h_c и разности углов A и B.

Решение

Предположим, что треугольник ABC построен. Обозначим через C' точку, симметричную C относительно серединного перпендикуляра к стороне AB, через B' — точку, симметричную B относительно прямой CC'. Для определенности будем считать, что AC < BC. Тогда ACB' = ACC' + C'CB = 180^o - A + C'CB = 180^o - (A - B), т. е. угол ACB' известен.
Треугольник ABB' можно построить, так как AB = c, BB' = 2h_c и  ABB' = 90^o. Точка C является точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку BB' и дуги окружности, из которой отрезок AB' виден под углом 180^o - (A - B).

Источники и прецеденты использования