Версия для печати
Убрать все задачи

---

На каждой клетке шахматной доски вначале стоит по ладье. Каждым ходом можно снять с доски ладью, которая бьет нечётное число ладей. Какое наибольшее число ладей можно снять? (Ладьи бьют друг друга, если они стоят на одной вертикали или горизонтали и между ними нет других ладей.)

   Решение

---

В некотором множестве введена операция *, которая по каждым двум элементам a и b этого множества вычисляет некоторый элемент a*b этого множества. Известно, что: 1°. Для любых трех элементов a, b и c
          a*(b*c) = b*(c*a).
2°. Если a*b = a*c, то b = c.
3°. Если a*c = b*c, то a = b.

Докажите, что операция *
а) коммутативна, то есть для любых элементов a и b верно равенство a*b = b*a;
б) ассоциативна, то есть для любых элементов a, b и c верно равенство (a*b)*c = a*(b*c).

   Решение

Темы:    [ Конус ] [ Касающиеся сферы ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60^o . Внутри конуса расположены три сферы радиуса 1. Каждая сфера касается двух других, основания конуса и его боковой поверхности. Найдите радиус основания конуса.

Решение

Пусть O1 , O2 и O3 (рис.1) – центры сфер, O – центр окружности основания конуса, R – её радиус, A , B и C – ортогональные проекции точек O1 , O2 и O3 на плоскость основания конуса (рис.2). Тогда O – центр равностороннего треугольника ABC , со стороной 2. Поэтому

OA = OB = OC = .
Проведём плоскость через ось конуса и параллельный ей радиус O1A одной из сфер (рис.3). Получим окружность радиуса 1, вписанную в угол с вершиной D , равный 60^o . Тогда
AD = AO1 ctg 30^o = .
Следовательно,
R = OD = OA + AD = + = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования