Дан равносторонний треугольник ABC. Для произвольной точки P внутри треугольника рассмотрим точки A' и C' пересечения прямых AP с BC и CP с BA соответственно. Найдите геометрическое место точек P, для которых отрезки AA' и CC' равны.

   Решение

Окружность C₁ радиуса 2 с центром O₁ и окружность C₂ радиуса с центром O₂ расположены так, что O₁O₂ = 2. Прямая l₁ касается окружностей в точках A₁ и A₂, а прямая l₂— в точках B₁ и B₂. Окружности C₁ и C₂ лежат по одну сторону от прямой l₁ и по разные стороны от прямой l₂, A₁ C₁, B₁ C₁, A₂ C₂, B₂ C₂, точки A₁ и B₁ лежат по разные стороны от прямой O₁O₂. Через точку B₁ проведена прямая l₃, перпендикулярная прямой l₂. Прямая l₁ пересекает прямую l₂ в точке A, а прямую l₃ — в точке B. Найдите A₁A₂, B₁B₂ и стороны треугольника ABB₁.

   Решение

Темы:    [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ] [ Неравенство Коши ] [ Средние величины ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В окружность вписан неправильный многоугольник. Если вершина A разбивает дугу, заключенную между двумя другими вершинами, на две неравные части, то такая вершина A называется неустойчивой. Каждую секунду какая-нибудь неустойчивая вершина перепрыгивает в середину своей дуги. В результате каждую секунду образуется новый многоугольник. Докажите, что сколько бы секунд ни прошло, многоугольник никогда не будет равным исходному.

Решение

Рассмотрим длины дуг между соседними точками. В силу неравенства  a² + b² > (^a+b/₂)²  (при  a ≠ b)  сумма квадратов этих дуг каждую секунду уменьшается. Следовательно, многоугольник никогда не станет таким же, как был.

Замечания

Дисперсия набора длин дуг также уменьшается.

Источники и прецеденты использования