Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что если ac - b² ≠ 0, то с помощью параллельного переноса x' = x + x₀, y' = y + y₀ уравнение Q(x, y) + 2dx + 2ey = f, где Q (x, y) = ax² + 2bxy + cy² можно привести к виду

где f' = f - Q(x₀, y₀) + 2(dx₀ + ey₀).

   Решение

---

Существуют ли три таких различных простых числа p, q, r, что  p² + d  делится на qr,  q² + d  делится на rp,  r² + d  делится на pq, если
  а)  d = 10,
  б)  d =11?

   Решение

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике катеты равны 75 и 100. На отрезках гипотенузы, образуемых основанием высоты, построены полуокружности по одну сторону с данным треугольником. Найдите отрезки катетов, заключённые внутри полукругов.

Подсказка

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу. Примените эту теорему к каждому из двух прямоугольных треугольников, на которые указанная высота разбивает данный треугольник.

Решение

Пусть M — основание высоты CM треугольника ABC, BC = 75, AC = 100, BD и AE — искомые отрезки. Тогда

Отрезок MD — высота прямоугольного треугольника BMC, опущенная из вершины прямого угла M на гипотенузу BC, поэтому

Откуда находим, что BD = 27. Аналогично найдём AE.

Ответ

27 и 64.

Источники и прецеденты использования