Даны две непересекающиеся окружности с центрами в точках O₁ и O₂. Пусть a₁ и a₂ — внутренние касательные к этим окружностям, a₃ и a₄ — внешние касательные к ним. Пусть, далее, a₅ и a₆ — касательные к окружности с центром в O₁, проведённые из точки O₂, a₇ и a₈ — касательные к окружности с центром в точке O₂, проведённые из точки O₁. Обозначим через O точку пересечения a₁ и a₂. Доказать, что с центром в точке O можно провести две окружности так, чтобы первая касалась a₃ и a₄, вторая касалась a₅, a₆, a₇, a₈, причём радиус второй в два раза меньше радиуса первой.

   Решение

Докажите, что площадь любого выпуклого четырехугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.

   Решение

Темы:    [ Признаки и свойства касательной ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность с центром в точке O делит отрезок AO пополам. Найдите угол между касательными, проведёнными из точки A.

Подсказка

Если катет прямоугольного треугольника вдвое меньше гипотенузы, то угол треугольника, противолежащий этому катету, равен 30^o.

Решение

Пусть B — одна из точек касания. Тогда в прямоугольном треугольнике OBA катет OB равен половине гипотенузы OA. Поэтому угол OAB равен 30^o, а угол между касательными равен 60^o.

Ответ

60^o.

Источники и прецеденты использования