Даны два одинаково ориентированных квадрата $A_1A_2A_3A_4$ и $B_1B_2B_3B_4$. Серединные перпендикуляры к отрезкам $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$ пересекают серединные перпендикуляры к отрезкам $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$, $A_1B_1$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Докажите, что $PR\perp QS$.

   Решение

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.

Решение

Пусть P, Q и R – центры квадратов, построенных на сторонах DA, AB и BC параллелограмма с острым углом α при вершине A. Тогда
∠PAQ = 90° + α = ∠RBQ,  а значит, треугольники PAQ и RBQ равны. Стороны AQ и BQ этих треугольников перпендикулярны, поэтому  PQ ⊥ QR.

Источники и прецеденты использования