Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Точки $X$ и $Y$ лежат на продолжениях за точку $D$ сторон $CD$ и $AD$ соответственно, причем $DX=AB$ и $DY=BC$. Аналогично, точки $Z$ и $T$ лежат на продолжениях за точку $B$ сторон $CB$ и $AB$, причем $BZ=AD$ и $BT=DC$. Пусть $M_1$ – середина $XY$, $M_2$ – середина $ZT$. Докажите, что прямые $DM_1$, $BM_2$ и $AC$ пересекаются в одной точке.

   Решение

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

В трапецию ABCD  (BC || AD)  вписана окружность, касающаяся боковых сторон AB и CD в точках K и L соответственно, а оснований AD и BC в точках M и N.
  а) Пусть Q – точка пересечения отрезков BM и AN. Докажите, что  KQ || AD.
  б) Докажите, что  AK·KB = CL·LD.

Решение

а) Так как  BQ : QM = BN : AM = BK : AK,  то  KQ || AM.

б) Пусть O – центр вписанной окружности. Так как   ∠CBA + ∠BAD = 180°,  то   ∠AOB = 90°.  Следовательно,  AK·KB = KO² = R²,  где R – радиус вписанной окружности. Аналогично  CL·LD = R².

Источники и прецеденты использования