Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
Малыш и Карлсон режут квадратный торт. Карлсон выбирает на нём точку (не на границе). После этого Малыш делает прямолинейный разрез от выбранной точки до края (в любом направлении). Затем Карлсон проводит второй прямолинейный разрез от выбранной точки до края, перпендикулярный первому, и отдаёт меньший из получившихся двух кусков Малышу. Малыш хочет получить хотя бы четверть торта. Может ли Карлсон ему помешать?
Решение
|
|
 |
Условие
Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к $b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$.Решение
Первое решение.
Сначала покажем, что расстояние до ближайшего целого числа от числа вида $c-mq$ (где $m\in\mathbb{N}$, $q$ — иррациональное и $c$ — любое фиксированное число) можно выбором $m$ сделать сколь угодно малым. Рассмотрим $n+1$ чисел $q,2q,3q,\ldots ,(n+1)q$. Их дробные части попадают в один из $n$ промежутков $$ \left(0;\frac{1}{n} \right), \left(\frac{1}{n};\frac{2}{n}\right), \ldots, \left(\frac{n - 1}{n};1\right). $$ Тогда по принципу Дирихле найдутся два числа $m_1q$ и $m_2q$ $(m_2>m_1)$, дробные доли которых попали в один и тот же промежуток. Их разность $(m_2q-m_1q)=(m_2-m_1)q$ также является числом вида $mq$, причём, поскольку разность их дробных частей по модулю меньше $1/n$, для некоторого целого $N$ верно неравенство $$ N-\frac{1}{n}<(m_2-m_1)q < N+\frac{1}{n}. $$ Следовательно, существует такое число $\psi\in \left(-\frac{1}{n};\frac{1}{n}\right)$, что $(m_2-m_1)q=N+\psi.$ Выберем натуральное число $l$ так, что выполняется одно из двойных неравенств $l\psi\leqslant\{c\}<(l+1)\psi$ или $-(l+1)\psi<\{c\}\leqslant -l\psi$. Тогда найдётся такое целое число $K$, что $|(N+\psi)l-(K+c)|<1/n$, т.е. $$ |l(m_2-m_1)q-(K+c)|<\frac{1}{n} . $$ Следовательно, $$ -K-\frac{1}{n} < c-mq < -K+\frac{1}{n}, $$ где $m=l(m_2-m_1)\in\mathbb{N}$. Значит, расстояние от целого числа $-K$ до числа $c-mq$ меньше $1/n$. Увеличивая значение $n$, можно сделать это расстояние сколь угодно малым.
Без ограничения общности будем считать, что $b>a$. При преобразовании подобия прямой с коэффициентом $1/a$ точка $-a$ перейдёт в точку $-1$, а точка $b$ — в точку $b/a>1$. Кузнечик теперь будет прыгать на 1 вправо и на $q=b/a$ влево. В некоторый момент кузнечик пересечёт середину отрезка $[-1;q]$ прыжком на 1 вправо и попадёт в некоторую точку $c$. После этого кузнечик никогда не будет делать прыжки длины $q$ более одного раза подряд. При прыжке на 1 дробные доли точек, в которых кузнечик находился до и после прыжка, одинаковые.
Пусть кузнечик находится в точке $c$. Выберем такое натуральное число $m$, что расстояние от $c-mq$ до ближайшего целого меньше ${10^{-6}}/a$. Если кузнечик сделает $m$ прыжков влево, он будет находиться на расстоянии менее ${10^{-6}}/a$ от какого-то целого числа, независимо от того, сколько при этом он совершил прыжков вправо на 1. Поскольку точка 0 находится левее середины нашего отрезка, то, прыгая на 1 вправо, кузнечик обязательно окажется на расстоянии менее ${10^{-6}}/a$ от точки 0, а на исходной прямой — на расстоянии, меньшем $10^{-6}$ от точки 0.
Второе решение.
Независимо от своего начального положения $x_0$ кузнечик рано или поздно окажется на промежутке $ \Delta=\left[-\frac{a+b}{2}; \frac{a+b}{2}\right)$. Действительно, если $x_0<\frac{b-a}{2}$, то он будет прыгать вправо на $a$, пока не перепрыгнет точку $\frac{b-a}{2}$ и не окажется на промежутке $ \Delta_r=\left[\frac{b-a}{2}; \frac{a+b}{2}\right)\subset \Delta$, a если $x_0\geqslant \frac{b-a}{2}$, то он будет прыгать влево на $b$, пока не перепрыгнет точку $\frac{b-a}{2}$ и не окажется на промежутке $ \Delta_l=\left[-\frac{a+b}{2}; \frac{b-a}{2}\right)\subset \Delta$.
При дальнейших прыжках кузнечик уже не покинет промежутка $\Delta$: оказавшись на $\Delta_r$, он прыгает влево на $b$ и попадает на $\Delta_l$, а оказавшись на $\Delta_l$, он прыгает вправо на $a$ и попадает на $\Delta_r$.
Если склеить промежуток $\Delta$ в окружность той же длины $a+b$, то указанные прыжки кузнечика на этой окружности будут уже прыжками в одну сторону на $a$ (или в другую сторону на $b$, что на данной окружности — одно и то же).
Поскольку отношение прыжка $a$ к длине $a+b$ окружности иррационально, следы кузнечика будут всюду плотны на окружности, то есть рано или поздно кузнечик попадёт на всякую дугу окружности. Следовательно, и на исходном промежутке $\Delta$ следы кузнечика всюду плотны, так что рано или поздно он попадёт в любую наперед заданную окрестность нуля.
