Информация о задаче

Задача 55012

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырёхугольника ODCE, зная, что BC = a, AC = b, AB = c.

Подсказка

${\frac{S_{\Delta BOD}}{S_{\delta BEC}}}$ = ${\frac{BD}{BC}}$ ^. ${\frac{BO}{BE}}$ .

Решение

Обозначим S_ABC = S. По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{BD}{CB}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{b + c}}$ , AE = $\displaystyle {\frac{bc}{a + c}}$ , $\displaystyle {\frac{BO}{BE}}$ = $\displaystyle {\frac{a + c}{a + b + c}}$ .

Тогда

S_BOD = $\displaystyle {\frac{BD}{CB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BO}{BE}}$ S_BEC = $\displaystyle {\frac{c}{b + c}}$ ^. $\displaystyle {\frac{a + c}{a + b + c}}$ ^. $\displaystyle {\frac{a}{a + c}}$ ^.S = $\displaystyle {\frac{acS}{(b + c)(a + b + c)}}$ .

Следовательно,

S_ODCE = S_BEC - S_BOD = $\displaystyle {\frac{aS}{a + c}}$ - $\displaystyle {\frac{acS}{(b + c)(a + b + c)}}$ =

= $\displaystyle {\frac{ab(a + b + 2c)S}{(a + c)(b + c)(a + b + c)}}$ .

Ответ

${\frac{(a + c)(b + c)(a + b + c)}{ab(a + b + 2c)}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3068