Петя разрезал фигуру на две равные части, как показано на рисунке. Придумайте, как разрезать эту фигуру на две равные части другим способом.

   Решение

AL – биссектриса треугольника ABC, K – такая точка на стороне AC, что  CK = CL.  Прямая KL и биссектриса угла B пересекаются в точке P.
Докажите, что  AP = PL.

   Решение

Тема:    [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Два n-угольника вписаны в одну окружность, причем наборы длин их сторон одинаковы, но не обязательно равны соответственные стороны. Докажите, что площади этих многоугольников равны.

Решение

Пусть многоугольник  A₁...A_n вписан в окружность. Рассмотрим точку A₂', симметричную точке A₂ относительно серединного перпендикуляра к отрезку A₁A₃. Тогда многоугольник  A₁A₂'A₃...A_n вписанный и его площадь равна площади многоугольника  A₁...A_n. Таким образом можно поменять местами любые две соседние стороны, а значит, можно поменять местами любые две стороны. Поэтому к любой стороне можно к подогнатьк любую другую сторону, к ней — любую из оставшихся и т. д. Следовательно, площадь n-угольника, вписанного в данную окружность, зависит только от набора длин сторон, но не от их порядка.

Источники и прецеденты использования