Каждое ребро правильного тетраэдра разделено на три равные части. Через каждую полученную точку деления проведены две плоскости, параллельные соответственно двум граням тетраэдра, не проходящим через эту точку. На сколько частей построенные плоскости разбивают тетраэдр?

   Решение

Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O; точки B' и C' симметричны вершинам B и C относительно биссектрисы угла BOC. Докажите, что  C'AC = B'DB.

   Решение

Темы:    [ Ориентированные графы ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением.
Доказать, что существует город, из которого можно проехать в любой другой не более чем по двум дорогам.

Подсказка

Это город, из которого выходит наибольшее число дорог.

Решение

Рассмотрим город A, из которого выходит наибольшее число дороги, и произвольный город B. Если дорога ведёт из A в B, то всё в порядке. Если же дорога ведёт из B в A, то, поскольку из B выходит не больше дорог, чем из A, найдётся город C, в который ведёт дорога из A, но не ведёт дорога из B. Тогда можно из A попасть в B по маршруту ACB.

Источники и прецеденты использования