Квадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

   Решение

Дано иррациональное число α,  0 < α < ½.  По нему определяется новое число α₁ как меньшее из двух чисел 2α и  1 – 2α.  По этому числу аналогично определяется α₂, и так далее.
  а) Докажите, что  α_n < ³/₁₆  для некоторого n .
  б) Может ли случиться, что  α_n > ⁷/₄₀  при всех натуральных n?

   Решение

Темы:    [ Изогональное сопряжение ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$, $CC_1$ и диаметр $AD$ описанной окружности. Прямые $BB_1$ и $DC_1$ пересекаются в точке $E$, а прямые $CC_1$ и $DB_1$ – в точке $F$. Докажите, что $\angle CAE=\angle BAF$.

Решение

Пусть $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$. Тогда прямые $AH$ и $AD$ являются изогоналями относительно угла $B_1AC_1$. По теореме об изогоналях прямые $AE$ и $AF$ также являются изогоналями.

Источники и прецеденты использования